Question

【題目】如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，側棱PD⊥底面ABCD，PD=DC=2，E是PC的中點．

（1）求證：PA∥平面EDB；
（2）求銳二面角C﹣PB﹣D的大小．

Answer 1

【答案】
（1）解法一：如圖，以D為坐標原點，分別以 所在的方向為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標系D﹣xyz．

則A（2，0，0），P（0，0，2），D（0，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0），E（0，1，1）．

法一： ．

設 ，即（2，0，﹣2）=λ（2，2，0）+μ（0，1，1）．

解得λ=1，μ=﹣2．

所以 ．

又PA平面EDB，所以PA∥平面EDB．

法二：取BD的中點G，則G（1，1，0）. ， ．

所以 ，所以PA∥EG．

又PA平面EDB，EG平面EDB，

所以PA∥平面EDB．

法三： ．

設 =（x，y，z）為平面EDB的一個法向量，

則 ，即2x+2y=0，y+z=0．

取y=﹣1，則x=z=1．于是 =（1，﹣1，1）．

又 ，所以 ．所以 ．

又PA平面EDB，所以PA∥平面EDB．

解法二：連接AC，設AC∩BD=G．

因為ABCD是正方形，所以G是線段AC的中點．

又E是線段PC的中點，所以，EG是△PAC的中位線．

所以PA∥EG．

又PA平面EDB，EG平面EDB，

所以PA∥平面EDB．

（2）解法一：由（1）中的解法一， ， ．

設 =（x1，y1，z1）為平面CPB的一個法向量，

則 ， ．

取y1=1，則z1=1．于是 =（0，1，1）．

因為ABCD是正方形，所以AC⊥BD．

因為PD⊥底面ABCD，所以PD⊥AC．

又PD∩BD=D，所以AC⊥平面PDB．

所以 是平面PDB的一個法向量．

所以

所以，銳二面角C﹣PB﹣D的大小為60°．

解法二：如圖，設AC∩BD=G．

在Rt△PDB中，過G作GF⊥PB于F，連接FC．

因為四邊形ABCD是正方形，

所以CA⊥BD，即CG⊥BD．

因為側棱PD⊥底面ABCD，CG平面ABCD，

所以CG⊥PD．

又CG⊥BD，PD∩BD=D，所以CG⊥平面PDB．

所以CG⊥PB．

又PB⊥GF，CG∩GF=G，所以PB⊥平面CGF．

所以PB⊥FC．從而∠GFC就是二面角C﹣PB﹣D的一個平面角

在Rt△PDB中， ．

在Rt△FGC中， ．所以∠GFC=60°．

所以二面角C﹣PB﹣D的大小為60°

【解析】（1）解法一：以D為坐標原點，分別以 所在的方向為x軸，y軸，z軸的正方向，建立空間直角坐標系D﹣xyz．求出相關點的坐標．法一，推出 ．然后證明PA∥平面EDB．法二：取BD的中點G，則G（1，1，0），利用 ，說明PA∥EG．證明PA∥平面EDB．法三：求出平面EDB的一個法向量 ，證明 ，推出PA∥平面EDB．解法二：連接AC，設AC∩BD=G．證明PA∥EG．然后證明PA∥平面EDB．（2）解法一：由（1）中的解法一，求出平面CPB的一個法向量 ，證明AC⊥BD．PD⊥AC．推出AC⊥平面PDB．求出平面PDB的一個法向量，利用空間向量的數量積求解銳二面角C﹣PB﹣D的大小．解法二：過G作GF⊥PB于F，連接FC．說明∠GFC就是二面角C﹣PB﹣D的一個平面角通過求解三角形即可．