Question

【題目】已知函數.

（1）討論的單調性；

（2）若，記的極小值為，證明：.

Answer 1

【答案】（1）當時，單調遞增；當時，遞增區間為，遞減區間；當時，遞增區間，遞減區間； （2）證明見解析.

【解析】

（1）求得函數的導數，分類討論，即可求解函數的單調區間；

（2）由（1）可知，取得，把，轉化為，

設，利用導數求得函數的單調性與最值，即可求解.

（1）由題意，函數，

則，

①當時，，此時函數單調遞增；

②當時，令，即，解得或，

令，即，解得，

所以函數在單調遞增，在上單調遞減；

③當時，令，即，解得或，

令，即，解得，

所以函數在單調遞增，在上單調遞減，

綜上可得：

當時，函數單調遞增；當時，函數遞增區間為，遞減區間；當時，函數遞增區間，遞減區間.

（2）由（1）可知，當時，在單調遞增，在上單調遞減，所以當時，函數取得極小值，

極小值為，

要證：，只需證：，只需證：，

即，

設，則，

令，即，解得或，

令，即，解得，

所以函數在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

所以當時，取得最大值，最大值為，

即當時，，即，

所以.