設
是橢圓
上的兩點，已知向量
，若
且橢圓的離心率
，短軸長為2，O為坐標原點.
（1）求橢圓的方程；
（2）試問△AOB的面積是否為定值？如果是，請給予證明；如果不是，請說明理由.
（1）
；（2）△AOB的面積為定值1.
解析試題分析：（1）由題可得
，則橢圓方程為 3分
（2）當
軸時：
，則
由對稱性只取
.
△AOB的面積為
6分
當AB與x軸不垂直時，設AB：y =kx + m.
則
8分
O到直線AB的距離：
，S△AOB
10分
又
13分S△AOB
△AOB的面積為定值1. 14分
考點：本題考查了橢圓的方程及直線與橢圓的位置關系
點評：橢圓的概念和性質，仍將是今后命題的熱點，定值、最值、范圍問題將有所加強；利用直線、弦長、圓錐曲線三者的關系組成的各類試題是解析幾何中長盛不衰的主題，其中求解與相交弦有關的綜合題仍是今后命題的重點；與其它知識的交匯(如向量、不等式)命題將是今后命題的一個新的重點、熱點.
口算心算速算應用題系列答案
同步拓展閱讀系列答案科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知拋物線
:
上橫坐標為4的點到焦點的距離為5．
（Ⅰ）求拋物線的方程；
（Ⅱ）設直線
與拋物線交于不同兩點
，若滿足
，證明直線恒過定點，并求出定點
的坐標．
（Ⅲ）試把問題（Ⅱ）的結論推廣到任意拋物線:中，請寫出結論，不用證明．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知
，直線
，
為平面上的動點，過點作
的垂線，垂足為點
，且
．
（1）求動點的軌跡曲線
的方程；
（2）設動直線
與曲線相切于點
，且與直線
相交于點
，試探究：在坐標平面內是否存在一個定點
，使得以
為直徑的圓恒過此定點？若存在，求出定點的坐標；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
設
是橢圓
的左焦點，直線
方程為
，直線與
軸交于
點，
、
分別為橢圓的左右頂點，已知
，且
．
(Ⅰ)求橢圓的標準方程；
(Ⅱ)過點且斜率為
的直線交橢圓于
、
兩點，求三角形
面積．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知圓C與y軸相切于點T(0，2)，與x軸正半軸相交于兩點M，N (點M在點N的右側），且
。橢圓D：
的焦距等于
，且過點
( I ) 求圓C和橢圓D的方程；
(Ⅱ) 若過點M的動直線
與橢圓D交于A、B兩點，若點N在以弦AB為直徑的圓的外部，求直線
斜率的范圍。
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
如圖，已知橢圓
的左焦點為F，過點F的直線交橢圓于A、B兩點，線段AB的中點為G，AB的中垂線與x軸和y軸分別交于D、E兩點．
（Ⅰ）若點G的橫坐標為
，求直線AB的斜率；
（Ⅱ）記△GFD的面積為S1，△OED（O為原點）的面積為S2．
試問：是否存在直線AB，使得S1=S2？說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：解答題
已知橢圓
：
的離心率等于
，點
在橢圓上.
(I)求橢圓的方程；
(Ⅱ)設橢圓的左右頂點分別為
,
,過點
的動直線
與橢圓相交于
,
兩點，是否存在定直線
：
，使得與
的交點
總在直線
上？若存在，求出一個滿足條件的
值；若不存在，說明理由。
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有相同的焦點，求此雙曲線方程．
的離心率等于
，直線
與雙曲線
的右支交于
兩點.
的取值范圍；
，點
是雙曲線
，求