Question

【題目】已知數列{an}的首項a1=2，an+1=2an﹣1（n∈N*） （Ⅰ）寫出數列{an}的前5項，并歸納猜想{an}的通項公式；
（Ⅱ）用數學歸納法證明（Ⅰ）中所猜想的通項公式．

Answer 1

【答案】解：（I）a1=2，a2=3，a3=5，a4=9，a5=17．

猜想：an=2n﹣1+1．

（II）證明：當n=1時，猜想顯然成立，

假設n=k（k≥1）時，猜想成立，即ak=2k﹣1+1，

∴ak+1=2ak﹣1=2（2k﹣1+1）﹣1=2k+1，

即n=k+1時，猜想成立，

∴an=2n﹣1+1（n∈N*）恒成立．

【解析】（I）根據遞推公式計算并猜想通項公式；（II）先驗證n=1，假設n=k猜想成立，再利用遞推公式得出ak+1即可得出結論．
【考點精析】認真審題，首先需要了解歸納推理(根據一類事物的部分對象具有某種性質,退出這類事物的所有對象都具有這種性質的推理,叫做歸納推理)．