Question

定義在R上的函數f（x）滿足f(x+

3

2

)+f(x)=0，且函數y=f(x-

3

4

)為奇函數，給出下列命題：
（1）函數f（x）的周期為

3

2

，
（2）函數f（x）關于點(-

3

4

，0)對稱，
（3）函數f（x）關于y軸對稱．其中正確的是

（2）（3）

．

Answer 1

分析：先由恒等式 f(x+

3

2

)=-f(x)得出函數的周期是T=3，可以判斷（1）錯，再由函數 y=f(x-

3

4

)是奇函數求出函數的對稱點來判斷（2）、（3）；即可得答案．

解答：解：由題意定義在R上的函數y=f（x）滿足條件 f(x+

3

2

)=-f(x)，
故有 f(x+

3

2

)=-f(x)=f(x-

3

2

)恒成立，故函數周期是3，
故（1）錯；
又函數 y=f(x-

3

4

)是奇函數，其圖象關于原點對稱，
而函數y=f（x）的圖象可由函數 y=f(x-

3

4

)的圖象向左平移

3

4

個單位得到，
故函數y=f（x）的圖象關于點 (-

3

4

，0)對稱，
由此知（2）（3）是正確的選項，
故答案為：（2）（3）

點評：本小題主要考查函數奇偶性的性質、奇偶函數圖象的對稱性、函數的周期性等基礎知識，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于基礎題．