Question

已知函數，．
（1）若函數在處取得極值，求的值；
（2）若函數的圖象上存在兩點關于原點對稱，求的范圍．

Answer 1

（1）；（2）.

試題分析：本題主要考查導數的運算、利用導數判斷函數的單調性、利用導數求函數的極值和最值等基礎知識，考查學生的分析問題解決問題的能力、轉化能力和函數思想.第一問，由于在處取得極值，所以是的根，所以對求導，解，得出a的值，但是需要驗證是否符合題意；第二問，先將“的圖象上存在兩點關于原點對稱”轉化為“存在圖象上一點，使得在的圖象上”，即轉化為“同時成立”，聯立消參，即轉化為“，即關于的方程在內有解”，下面證明與有交點.
試題解析：（1）當時，，   2分
∵在處取得極值
∴，即
解得：，經驗證滿足題意，∴．            5分
的圖象上存在兩點關于原點對稱，
即存在圖象上一點，
使得在的圖象上
則有 
                         8分
化簡得：，即關于的方程在內有解                   9分
設，則
∵
∴當時，；當時，
即在上為減函數，在上為增函數
∴，且時，；時，
即值域為                                             11分
∴時，方程在內有解
∴時，的圖象上存在兩點關于原點對稱．   12分