Question

如圖，長方體AC₁中，AB＝2，BC＝AA₁＝1.E、F、G分別為棱DD₁、D₁C₁、BC的中點．

(1)求證：平面平面；
(2)在底面A₁D₁上有一個靠近D₁的四等分點H，求證： EH∥平面FGB₁；
(3)求四面體EFGB₁的體積．

Answer 1

（1）見解析；
(2) H在A₁D₁上，且HD₁＝A₁D₁時，EH∥平面FGB₁.
(3) V四面體EFGB₁＝VE—FGB₁＝VH—FGB₁＝×1×＝.

解析試題分析：（1）根據面面垂直的判定定理來得到證明。
（2）取A₁D₁的中點P，D₁P的中點H，連接DP、EH，通過EH∥平面FGB₁，說明EH∥B₁G，得到HD₁= A₁D₁．
（3）以D為原點，直線DA、DC、DD1為x、y、z軸建立空間直角坐標系，利用法向量，求出E到平面FGB₁的距離d，底面S_△FGB1，然后求四面體EFGB₁的體積．
解：（1）   
(2)取A₁D₁的中點P，D₁P的中點H，連結DP、EH，則DP∥B₁G，EH∥DP，
∴EH∥B₁G，又B₁G?平面FGB₁，∴EH∥平面FGB₁.
即H在A₁D₁上，且HD₁＝A₁D₁時，EH∥平面FGB₁.
(3)∵EH∥平面FGB₁，∴VE—FGB₁＝VH—FGB₁，
而VH—FGB₁＝VG—HFB₁＝×1×S△HFB₁，
S_△HFB₁＝S梯形B₁C₁D₁H－S△B₁C₁F－S△D₁HF＝，
∴V四面體EFGB₁＝VE—FGB₁＝VH—FGB₁＝×1×＝.
考點：本題主要考查了考查直線與平面的位置關系，探究點的位置，幾何體的體積的求法，考查空間想象能力，計算能力．中檔試題。
點評：解決該試題的關鍵是熟練的利用面面垂直的判定定理得到證明，同時能家里空間直角坐標系來表示平面的法向量，進而求解體積。