Question

如圖，與都是邊長為2的正三角形，平面平面，平面，

.
（1）求直線與平面所成的角的大小；
（2）求平面與平面所成的二面角的正弦值.

Answer 1

，

本題主要考查了考查立體圖形的空間感、線面角、二面角、空間向量、二面角平面角的判斷有關知識，同時也考查了空間想象能力和推理能力



解法一：（1）取CD中點O，連OB，OM，則OB⊥CD，OM⊥CD.
又平面平面,則MO⊥平面，所以MO∥AB，A、B、O、M共面.延長AM、BO相交于E，則∠AEB就是AM與平面BCD所成的角.
OB=MO=，MO∥AB，則，，所以，故.
（2）CE是平面與平面的交線.
由（1）知，O是BE的中點，則BCED是菱形.
作BF⊥EC于F，連AF，則AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC-B的平面角，設為.
因為∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.
，
，
所以，所求二面角的正弦值是.
解法二：取CD中點O，連OB，OM，則OB⊥CD，OM⊥CD，又平面平面,則MO⊥平面.
以O為原點，直線OC、BO、OM為x軸，y軸，z軸，建立空間直角坐標系如圖.
OB=OM=，則各點坐標分別為O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，），B（0，-，0），A（0，-，2），
（1）設直線AM與平面BCD所成的角為.
因（0，，），平面的法向量為.則有，所以.
（2），.
設平面ACM的法向量為，由得.解得，，取.又平面BCD的法向量為，則
設所求二面角為，則.