Question

已知函數f(x)=lg(

1

x-1

-1)的定義域為集合A，g(x)=

-x2+4ax-3a

(a＞0)的定義域為集合B，集合C={x|2x2-6x+8＞1}
（1）若A∪B=B，求實數a的取值范圍．
（2）如果若B則C為真命題，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析：此題考查函數的定義域，涉及到解對數不等式、指數不等式、以及集合的包含關系、命題等問題

解答：解：（1）∵函數f(x)=lg(

1

x-1

-1)的定義域為集合A
∴

1

x-1

-1＞0，
即集合A={x|1＜x＜2}
∵g(x)=

-x2+4ax-3a

(a＞0)的定義域為集合B
∴-x²+4ax-3a≥0，
即B=x|a≤x≤3a}
因為A∪B=B，所以A⊆B所以

a≤1 3a≥2

⇒

2

3

≤a≤1…（6分）
∵集合C={x|2x2-6x+8＞1}
∴x²-6x+8＞0，即C={x|x＜2或x＞4}
若B則A為真命題，則B⊆C，
所以

a＞0 3a＜2

或a＞4
所以a的取值范圍是0＜a＜

2

3

或a＞4…（12分）

點評：此題注重了命題與集合的關系，學生應能正確斷定若B則C為真命題意味著B⊆C．