Question

（2012•福建模擬）對于非空實數集A，記A*={y|?x∈A，y≥x}．設非空實數集合M，P，滿足M⊆P． 給出以下結論：
①P*⊆M*；
②M*∩P≠∅；
③M∩P*=∅．
其中正確的結論是

①

．（寫出所有正確結論的序號）

Answer 1

分析：根據題意，分析可得集合A*的元素為所有大于或等于A中最大值的數，根據題意，分析三個命題：對于①，分M、P中都有最大值與P中無最大值兩種情況討論，分析可得均有P*⊆M*成立，可得①正確，對于②，舉出反例，當集合M無最大值時，M*=∅，此時M*∩P=∅，則②錯誤；對于③，舉出反例，當M=P，且M、P均有最大值時，分析可得此時M∩P*={a}≠∅，則③錯誤；綜合可得答案．

解答：解：分析可得，集合A*的元素為所有大于或等于A中最大值的數，當集合A無最大值時，A*=∅，
假設M、N中元素有最大值，則設M中元素的最大值為a，P中元素的最大值為b，有M*={x|x≥a}，P*={x|x≥b}，
若非空實數集合M，P，滿足M⊆P，則有a≤b，
對于①，若M中元素的最大值為a，P中元素的最大值為b，有M*={x|x≥a}，P*={x|x≥b}可得P*⊆M*成立，
若P中元素無最大值，則P*=∅，無論集合M的元素有無最大值，都有P*⊆M*成立，
則①正確；
對于②，當集合M無最大值時，M*=∅，此時M*∩P=∅，則②錯誤；
對于③，當M=P，且M、P均有最大值時，即M=P={x|x≤a}，此時M*=P*={x|x≥a}，此時M∩P*={a}≠∅，則③錯誤；
只有命題①正確；
故答案為①．

點評：本題考查集合間關系的判斷，關鍵是爭取理解題意中“A*”的含義．