Question

已知定點(diǎn)及橢圓,過(guò)點(diǎn)的動(dòng)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)．
（1）若線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，求直線的方程；
（2）在軸上是否存在點(diǎn)，使為常數(shù)？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

解：
（1）依題意，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為,
將代入,
消去整理得，         …………………  2 分
設(shè),

① ②

則                     

由線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)是，
得，解得，適合①
所以直線的方程為或； ……………… 5分
（2）假設(shè)在軸上存在點(diǎn)，使為常數(shù)．
（ⅰ）當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，由（1）知
 ，  ③
所以
；       …………………………7分
將③代入，整理得

 ，     
注意到是與無(wú)關(guān)的常數(shù)，從而有，
此時(shí) ；       ……………………………………………… 10分
（ⅱ）當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，
當(dāng)時(shí)，亦有 ；
綜上，在軸上存在定點(diǎn)，使為常數(shù). ……………  12分

略