Question

設橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左焦點為F，離心率為

2

2

，過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為

2

．
（1）求橢圓方程．
（2）過點P（0，2）的直線l與橢圓交于不同的兩點A，B，當△OAB面積最大時，求|AB|．

Answer 1

分析：（1）由橢圓的離心率和通徑長及a²-b²=c²聯立求出a，b的值，則橢圓方程可求；
（2）由題意設出直線方程，和橢圓方程聯立后利用弦長公式求出弦長，由點到直線距離公式求出原點O到直線l的距離，利用換元法借助于不等式求出面積取最大值時的直線的斜率，從而求出直線被橢圓所截得的弦長．

解答：解：（1）由

c

a

=

2

2

，
又過點F且與x軸垂直的直線被橢圓截得的線段長為

2

，
得

2b2

a

=

2

，且a²-b²=c²，解得a²=2，b²=1．
所以橢圓方程為

x2

2

+y2=1；
（2）根據題意可知，直線l的斜率存在，故設直線l的方程為y=kx+2，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由方程組

y=kx+2 x2 2 +y2=1

，消去y得關于x的方程（1+2k²）x²+8kx+6=0
由直線l與橢圓相交于A，B兩點，則有△＞0，
即64k²-24（1+2k²）=16k²-24＞0，得k2＞

3

2

由根與系數的關系得

x1+x2=- 8k 1+2k2 x1•x2= 6 1+2k2

故|AB|=

1+k2

|x1-x2|
=

1+k2

(x1+x2)2-4x1x2

=

16k2-24

1+2k2

1+k2

又因為原點O到直線l的距離d=

2

1+k2

，故△OAB的面積S=

1

2

|AB|•d=

16k2-24

1+2k2

=

2 2 × 2k2-3

1+2k2

令t=

2k2-3

＞0，則2k²=t²+3
所以S△AOB=

2 2 t

t2+4

≤

2

2

，當且僅當t=2時等號成立，
即k=±

14

2

時，|AB|=

3

2

．

點評：本題考查了橢圓的標準方程，考查了直線和圓錐曲線的綜合題，解答的關鍵是利用根與系數關系得到弦長，代入面積公式后借助于基本不等式求最值，考查了學生的計算能力，屬有一定難度題目．