Question

已知數列{a_n}、{b_n}中，對任何正整數n都有：a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_n-1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2．
（1）若數列{a_n}是首項和公差都是1的等差數列，求證：數列{b_n}是等比數列；
（2）若數列{b_n}是等比數列，數列{a_n}是否是等差數列，若是請求出通項公式，若不是請說明理由；

Answer 1

分析：（1）根據等差數列的性質求得數列{a_n}的通項公式，代入a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_n-1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2中，利用錯位相減法求得b_n=2^n-1，進而推斷數列{b_n}是首項為1，公比為2的等比數列．
（2）設等比數列{b_n}的首項為b，公比為q，代入a₁b_n+a₂b_n-1+a₃b_n-2+…+a_n-1b₂+a_nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2中進而求得bq^n-2a₁+bq^n-3a₂+bq^n-4a₃++ba_n-1=2ⁿ-n-1，整理得（2ⁿ-n-1）q+ba_n=2ⁿ⁺¹-n-2，進而求得a_n的表達式，要使a_n+1-a_n是與n無關的常數，必需q=2，進而得出結論當等比數列{b_n}的公比q=2時，數列{a_n}是等差數列，其通項公式是an=

n

b

；當等比數列{b_n}的公比不是2時，數列{a_n}不是等差數列．

解答：解：（1）依題意數列{a_n}的通項公式是a_n=n，
故等式即為b_n+2b_n-1+3b_n-2++（n-1）b₂+nb₁=2ⁿ⁺¹-n-2，b_n-1+2b_n-2+3b_n-3++（n-2）b₂+（n-1）b₁=2ⁿ-n-1（n≥2），
兩式相減可得b_n+b_n-1++b₂+b₁=2ⁿ-
得b_n=2^n-1，數列{b_n}是首項為1，公比為2的等比數列．
（2）設等比數列{b_n}的首項為b，公比為q，則b_n=bq^n-1，從而有：bq^n-1a₁+bq^n-2a₂+bq^n-3a₃++bqa_n-1+ba_n=2ⁿ⁺¹-n-2，
又bq^n-2a₁+bq^n-3a₂+bq^n-4a₃++ba_n-1=2ⁿ-n-1（n≥2），
故（2ⁿ-n-1）q+ba_n=2ⁿ⁺¹-n-2
an=

2-q

b

×2n+

q-1

b

×n+

q-2

b

，
要使a_n+1-a_n是與n無關的常數，必需q=2，
即①當等比數列{b_n}的公比q=2時，數列{a_n}是等差數列，其通項公式是an=

n

b

；
②當等比數列{b_n}的公比不是2時，數列{a_n}不是等差數列．

點評：本題主要考查了等差數列的性質，考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力．