Question

【題目】“活水圍網”養魚技術具有養殖密度高、經濟效益好的特點．研究表明：“活水圍網”養魚時，某種魚在一定的條件下，每尾魚的平均生長速度v(單位：千克/年)是養殖密度x(單位：尾/立方米)的函數．當x不超過4尾/立方米時，v的值為2千克/年；當4<x≤20時，v是x的一次函數，當x達到20尾/立方米時，因缺氧等原因，v的值為0千克/年．
（1）當0<x≤20時，求函數v關于x的函數表達式；
（2）當養殖密度x為多大時，魚的年生長量(單位：千克/立方米)可以達到最大？并求出最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由題意得當0<x≤4時，v＝2；
當4<x≤20時，設v＝ax＋b，
由已知得 解得
所以v＝－ x＋ ，故函數
v＝
（2）解：設魚的年生長量為f(x)千克/立方米，依題意并由(1)可得
f(x)＝
當0<x≤4時，f(x)為增函數，故f(x)max＝f(4)＝4×2＝8；
當4<x≤20時，f(x)＝－ x2＋ x＝－ (x2－20x)＝－ (x－10)2＋ ，f(x)max＝f(10)＝12.5.
所以當0<x≤20時，f(x)的最大值為12.5.
即當養殖密度為10尾/立方米時，魚的年生長量可以達到最大，最大值為12.5千克/立方米．
生長量可以達到最大，最大值為12.5千克/立方米.
【解析】（1）當4＜x≤20時，設v=ax+b，根據待定系數法求出a，b的值，從而求出函數的解析式即可；
（2）根據f（x）的表達式，結合二次函數的性質求出f（x）的最大值即可．求解函數解析式是高考重點考查內容之一，在三角函數的解析式中常考．是基礎題．