Question

【題目】函數 圖象上不同兩點 ， 處切線的斜率分別是 ， ，規定 （ 為線段 的長度）叫做曲線 在點 與 之間的“彎曲度”，給出以下命題：
①函數 圖象上兩點 與 的橫坐標分別為1和2，則 ；
②存在這樣的函數，圖象上任意兩點之間的“彎曲度”為常數；
③設點 ， 是拋物線 上不同的兩點，則 ；
④設曲線 （ 是自然對數的底數）上不同兩點 ， ，且 ，若 恒成立，則實數 的取值范圍是 ．
其中真命題的序號為（將所有真命題的序號都填上）

Answer 1

【答案】②③
【解析】解：對于①，由 得 ，
故 ，
又 ，故 。
∴ 。故①錯誤。
對于②，常數函數y=1滿足圖象上任意兩點之間的“彎曲度”為常數，故②正確；
對于③，設 ， ，又 ，
∴
，
∴ ，故③正確。
對于④，由 可得 ， ，
由 恒成立可得 恒成立，
而當 時該式恒成立，故④錯誤。
綜上可得②③正確。
故答案為：②③
本題主要考查函數的圖像、拋物線的簡單性質及函數的取值范圍。