【題目】設
分別是橢圓
的左、右焦點．
(1)若
是該橢圓上的一個動點，求
的最大值和最小值；
(2)設過定點
的直線
與橢圓交于不同的兩點
，且
為銳角(其中
為坐標原點)，求直線的斜率的取值范圍．
【答案】（1）
；（2）
.
【解析】
(1)設出點P的坐標，向量坐標化得到
的表達式，進而得到最值；（2）
為銳角即
，設出點AB的坐標，向量坐標化得到點積的表達式為：x1x2＋y1y2,聯立直線和橢圓方程，由韋達定理得到結果.
(1)由已知得，F1(－
，0)，F2(，0)，設點P(x，y)，
則
＋y2＝1，且－2≤x≤2．
所以
·
＝(－－x，－y)·(－x，－y)＝x2－3＋y2＝x2－3＋1－＝
x2－2，
當x＝0，即P(0，±1)時，(·)min＝－2；
當x＝±2，即P(±2，0)時，(·)max＝1．
(2)由題意可知，過點M(0，2)的直線l的斜率存在．
設l的方程為y＝kx＋2，
由
消去y，化簡整理得
(1＋4k2)x2＋16kx＋12＝0，Δ＝(16k)2－48(1＋4k2)＞0，解得k2>．
設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1＋x2＝－
，x1x2＝
，
又∠AOB為銳角，所以
·
＞0，即x1x2＋y1y2＞0，
有x1x2＋(kx1＋2)(kx2＋2)＝(1＋k2)x1x2＋2k(x1＋x2)＋4
＝(1＋k2)·＋2k·
＋4＞0，解得k2＜4，
所以＜k2＜4，即k∈
．
期末沖刺100分創新金卷完全試卷系列答案科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，拋物線C關于
軸對稱，頂點為坐標原點，且經過點
．
（1）求拋物線C的標準方程；
（2） 過點
的直線交拋物線于M、N兩點．是否存在定直線
，使得l上任意點P與點M，Q，N所成直線的斜率
，
，
成等差數列．若存在，求出直線l的方程；若不存在，說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】定義函數
，
(0，
)為
型函數，共中
．
（1）若
是
型函數，求函數
的值域；
（2）若是
型函數，求函數極值點個數；
（3）若是
型函數，在上有三點A、B、C橫坐標分別為
、
、
，其中＜＜，試判斷直線AB的斜率與直線BC的斜率的大小并說明理由．
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐
中，底面
是正方形，且
，平面
平面，
，點
為線段
的中點，點
是線段
上的一個動點．
（Ⅰ）求證：平面
平面
；
（Ⅱ）設二面角
的平面角為
，試判斷在線段上是否存在這樣的點，使得
，若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由.
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖是某手機商城2018年華為、蘋果、三星三種品牌的手機各季度銷量的百分比堆積圖（如：第三季度華為銷量約占
，三星銷量約占
，蘋果銷量約占
），根據該圖，以下結論中一定正確的是（ ）
A. 四個季度中，每季度三星和蘋果總銷量之和均不低于華為的銷量
B. 蘋果第二季度的銷量小于第三季度的銷量
C. 第一季度銷量最大的為三星，銷量最小的為蘋果
D. 華為的全年銷量最大
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】某學校為了解學生的體質健康狀況，對高一、高二兩個年級的學生進行了體質測試．現從兩個年級學生中各隨機選取20人，將他們的測試數據，用莖葉圖表示如圖：《國家學生體質健康標準》的等級標準如表．規定：測試數據≥60，體質健康為合格．
等級 | 優秀 | 良好 | 及格 | 不及格 |
測試數據 |
|
|
|
|
（Ⅰ）從該校高二年級學生中隨機選取一名學生，試估計這名學生體質健康合格的概率；
（Ⅱ）從兩個年級等級為優秀的樣本中各隨機選取一名學生，求選取的兩名學生的測試數據平均數大于95的概率；
（Ⅲ）設該校高一學生測試數據的平均數和方差分別為
，高二學生測試數據的平均數和方差分別為
，試估計
、
的大小．（只需寫出結論）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數
．
（Ⅰ）若曲線
在點
處的切線與x軸平行，求a的值；
（Ⅱ）若
在
處取得極大值，求a的取值范圍；
（Ⅲ）當a=2時，若函數
有3個零點，求m的取值范圍．（只需寫出結論）
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科目：高中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，已知點F為拋物線
的焦點，過點F的動直線l與拋物線C交于M，N兩點，且當直線l的傾斜角為
時，
.
（1）求拋物線C的方程.
（2）點
，證明：直線PM，PN關于x軸對稱.
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