Question

【題目】設(shè)l為曲線C：在點處的切線.

（1）求l的方程；

（2）證明：除切點之外，曲線C在直線l的下方；

（3）求證：（其中，）.

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析（3）見解析

【解析】

（1）求出切點處切線斜率，代入點斜式方程，可以求解；

（2）利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而分析出函數(shù)圖象的形狀，可得結(jié)論；

（3）法一，充分利用（2）的結(jié)果，對不等式左端進(jìn)行放大，進(jìn)一步放大為可以列項相消的形式來證明，法二，利用數(shù)學(xué)歸納法證明即可.

（1）設(shè)（），則（），

從而曲線在點處的切線斜率為，

于是切線方程為，即，

因此直線l的方程為.

（2）令（），

則除切點之外，曲線C在直線l的下方等價于（任意，）恒成立.

滿足，且（，），

當(dāng)時，，，從而，于是在單調(diào)遞減；

當(dāng)時，，，從而，于是在單調(diào)遞增.

因此（任意，），除切點之外，曲線C在直線l的下方.

（3）方法1 由（2）可知（任意，）.

令得，即.

則，，…，.

將以上各式相加得，

當(dāng)，時，，

，

，

所以當(dāng)，時，，結(jié)論成立.

方法2：用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)時，左邊，右邊，左邊右邊，不等式成立.

②假設(shè)當(dāng)（，）時，不等式成立，

即，

當(dāng)時，，

只需證明（*）

（**）.

由（2）可知（任意，），

則（）.

又當(dāng)，時，，

，

（）.

所以（**）成立，從而（*）成立.

時，不等式成立.

由①②可知，當(dāng)，時，成立.