Question

某廠生產一種機器的固定成本（即固定收入）為0.5萬元，但每生產一臺，需要增加可變成本（即另增加收入）0.25萬元．市場對此產品的年需求量為500臺，銷售的收入函數為R(x)=5x-

x2

2

（萬元）（0≤x≤5）．其中x是產品售出的數量（單位：百臺）
（1）把利潤表示為年產量的函數；
（2）年產量是多少時，工廠所得利潤最大？

Answer 1

分析：（1）利潤y是指生產數量x的產品售出后的總收入R（x）與其成本C（x）之差，由題意，當x≤5時，產品能夠全部售出，當x＞5時，只能銷售500臺，由此能把利潤表示為年產量的函數．
（2）當0≤x≤5時，y=-

1

2

x2 +4.75x-0.5，當x=-

b

2a

=4.75（百臺）時，y_max=10.78125（萬元）；當x＞5（百臺）時，y＜12-0.25×5=10.75（萬元）．由此能求出年產量是多少時，工廠所得利潤最大．

解答：解：（1）利潤y是指生產數量x的產品售出后的總收入R（x）與其成本C（x）之差，
由題意，當x≤5時，產品能夠全部售出，當x＞5時，只能銷售500臺，所以y=

5x- 1 2 x2-(0.5+0.25x)，0≤x≤5 5×5- 1 2 ×52-(0.5+0.25x)，x＞5

，
整理，得y=

- 1 2 x2+4.75x-0.5，0≤x≤5 12-0.25x，x＞5

，
（2）當0≤x≤5時，
y=-

1

2

x2 +4.75x-0.5，
當x=-

b

2a

=4.75（百臺）時，
y_max=10.78125（萬元）；
當x＞5（百臺）時，
y＜12-0.25×5=10.75（萬元）．
綜上所述，當生產475臺時，工廠所得利潤最大．

點評：本題考查函數在生產實際中的應用，考查運算求解能力，推理論證能力；考查函數與方程思想，化歸與轉化思想．綜合性強，難度大，容易出錯．解題時要認真審題，注意二次函數性質的靈活運用．