科目：高中數學 來源：2012年全國普通高等學校招生統一考試文科數學（課標卷解析版） 題型：解答題
如圖，D，E分別是△ABC邊AB,AC的中點，直線DE交△ABC的外接圓與F,G兩點，若CF∥AB，證明：
(Ⅰ) CD=BC;
(Ⅱ)△BCD∽△GBD.
【命題意圖】本題主要考查線線平行判定、三角形相似的判定等基礎知識，是簡單題.
【解析】(Ⅰ) ∵D，E分別為AB,AC的中點，∴DE∥BC，
∵CF∥AB， ∴BCFD是平行四邊形，
∴CF=BD=AD， 連結AF，∴ADCF是平行四邊形，
∴CD=AF，
∵CF∥AB, ∴BC=AF, ∴CD=BC；
(Ⅱ) ∵FG∥BC，∴GB=CF，
由(Ⅰ)可知BD=CF，∴GB=BD,
∵∠DGB=∠EFC=∠DBC, ∴△BCD∽△GBD
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科目：高中數學 來源：2011-2012學年山東省菏澤市高三5月高考沖刺題理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
已知
是公差為d的等差數列，
是公比為q的等比數列
（Ⅰ）若 
，是否存在
，有
？請說明理由；
（Ⅱ）若
（a、q為常數，且aq
0）對任意m存在k，有
，試求a、q滿足的充要條件；
（Ⅲ）若
試確定所有的p,使數列中存在某個連續p項的和式數列中的一項，請證明.
【解析】第一問中，由
得
，整理后，可得
、
，
為整數
不存在
、
，使等式成立。
（2）中當
時，則
即
，其中
是大于等于
的整數
反之當時，其中是大于等于的整數，則
，
顯然
，其中
、
滿足的充要條件是，其中是大于等于的整數
（3）中設
當
為偶數時，
式左邊為偶數，右邊為奇數，
當為偶數時，式不成立。由式得
，整理
當
時，符合題意。當
，為奇數時，
結合二項式定理得到結論。
解（1）由得，整理后，可得、，為整數不存在、，使等式成立。
（2）當時，則即，其中是大于等于的整數反之當時，其中是大于等于的整數，則，
顯然，其中
、滿足的充要條件是，其中是大于等于的整數
（3）設當為偶數時，式左邊為偶數，右邊為奇數，
當為偶數時，式不成立。由式得，整理
當時，符合題意。當，為奇數時，
由，得
當為奇數時，此時，一定有
和
使上式一定成立。當為奇數時，命題都成立
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科目：高中數學 來源：2013屆浙江杭州七校高二下期期中理科數學試卷（解析版） 題型：解答題
已知遞增等差數列
滿足：
，且
成等比數列．
（1）求數列的通項公式
；
（2）若不等式
對任意
恒成立，試猜想出實數
的最小值，并證明．
【解析】本試題主要考查了數列的通項公式的運用以及數列求和的運用。第一問中，利用設數列公差為
，
由題意可知
，即
，解得d，得到通項公式，第二問中，不等式等價于
，利用當
時，
；當
時，
；而
，所以猜想，的最小值為
然后加以證明即可。
解：（1）設數列公差為，由題意可知，即，
解得
或
（舍去）． …………3分
所以，
． …………6分
（2）不等式等價于，
當時，；當時，；
而，所以猜想，的最小值為． …………8分
下證不等式
對任意恒成立．
方法一：數學歸納法．
當時，
，成立．
假設當
時，不等式
成立，
當
時，
，
…………10分
只要證 
，只要證 
，
只要證 
，只要證 
，
只要證 
，顯然成立．所以，對任意，不等式恒成立．…14分
方法二：單調性證明．
要證
只要證 
，
設數列
的通項公式
， …………10分
， …………12分
所以對
，都有
，可知數列為單調遞減數列．
而
，所以
恒成立，
故的最小值為．
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時，顯然
；當
時，
，所以選D.
和
，它們的交點坐標為 .[來源
所以選D.