Question

如圖，已知正三棱柱ABC=A₁B₁C₁的各棱長都是4，E是BC的中點，動點F在側棱CC₁上，且不與點C重合．
（Ⅰ）當CF=1時，求證：EF⊥A₁C；
（Ⅱ）設二面角C-AF-E的大小為θ，求tanθ的最小值．

Answer 1

（I）過E作EN⊥AC于N，連接EF，NF，AC₁，由直棱柱的性質可知，底面ABC⊥側面A₁C
∴EN⊥側面A₁C
NF為EF在側面A₁C內的射影
在直角三角形CNF中，CN=1
則由

CF

CC1

=

CN

CA

=

1

4

，得NF∥AC₁，又AC₁⊥A₁C，故NF⊥A₁C
由三垂線定理可知EF⊥A₁C
（II）連接AF，過N作NM⊥AF與M，連接ME
由（I）可知EN⊥側面A₁C，根據三垂線定理得EM⊥AF
∴∠EMN是二面角C-AF-E的平面角即∠EMN=θ
設∠FAC=α則0°＜α≤45°，
在直角三角形CNE中，NE=

3

，在直角三角形AMN中，MN=3sinα
故tanθ=

3

3sinα

，又0°＜α≤45°∴0＜sinα≤

2

2

故當α=45°時，tanθ達到最小值，
tanθ=

6

3

，此時F與C₁重合