Question

某班50名學生在一模數學考試中，成績都屬于區間[60，110]．將成績按如下方式分成五組：
第一組[60，70）；第二組[70，80）；第三組[80，90）；第四組[90，100）；第五組[100，110]．
部分頻率分布直方圖如圖所示，及格（成績不小于90分）的人數為20．
（1）在成績屬于[70，80）∪[90，100]的學生中任取兩人，成績記為m，n，求|m-n|＞10的概率；
（2）在該班級中任取4人，其中及極格人數記為隨機變量X，寫出X的分布列（結果只要求用組合數表示），并求出期望E（X）．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲求“|m-n|＞10的概率”，即兩人的分差大于10，可根據直方圖得出分別在[70，80）和[90，100]中的人數，再求出在這兩個區間中各取一人的方法數，利用組合數解決即可；
（2）依據及格人數X的可能值是以0，1，2，3，4，分別求出它們的概率得分布列，再根據期望的公式，代入其公式求解．
解答：解：（1）由圖得，成績在[100，110]的人數為4人，
所以在[90，100）的人為16人，
所以在[90，100）的頻率為0.32，
在[80，90）的頻率為0.38．（2分）
∴由題得：成績在[70，80）的有8人，
在[90，100）的為16人．
所以|m-n|＞10的概率為．（6分）
（2）X的分布列為：
（9分）
隨機變量X服從的是M=50，N=20，n=4的超幾何分布，所以期望．（12分）
點評：本題考查頻率分布直方圖的相關知識．直方圖中的各個矩形的面積代表了頻率，所以各個矩形面積之和為1．同時也考查了分布列及數學期望的求法，屬于中檔題．