Question

【題目】已知拋物線的焦點到準線的距離為，直線與拋物線交于兩點，過這兩點分別作拋物線的切線，且這兩條切線相交于點.

（1）若的坐標為，求的值；

（2）設線段的中點為，點的坐標為，過的直線與線段為直徑的圓相切，切點為，且直線與拋物線交于兩點，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）拋物線的焦點到準線的距離為可得，從而得到拋物線的方程，然后設出切線切線的方程為，由求得，由切點在拋物線上可得到，即為所求。（2）由（1）得到以線段為直徑的圓為圓。由題意只需考慮斜率為正數的直線即可，根據幾何知識得，故的方程為，由弦長公式可得，又，所以，最后根據可得。

試題解析：

（1）由拋物線的焦點到準線的距離為，得，

則拋物線的方程為.

設切線的方程為，代入得，

由得，

當時，點的橫坐標為，

則，

當時，同理可得.

綜上得。

（2）由（1）知， ，

所以以線段為直徑的圓為圓，

根據對稱性，只要探討斜率為正數的直線即可，

因為為直線與圓的切點，

所以， ，

所以，

所以，

所以直線的方程為，

由消去整理得，

因為直線與圓相交，所以。

設，則，

所以，

所以，

設，因為，所以，

所以，

所以.