Question

【題目】已知函數f（x）=xlnx，g（x）=﹣x2+ax﹣2
（Ⅰ）求函數f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（Ⅱ）若函數y=f（x）與y=g（x）的圖象恰有一個公共點，求實數a的值．

Answer 1

【答案】解：（I）令f'（x）=lnx+1=0，得 ． ①當 時，函數f（x）在 上單調遞減，在 上單調遞增，
此時函數f（x）在區間[t，t+2]上的最小值為 ；
②當 時，函數f（x）在區間[t，t+2]上單調遞增，此時函數f（x）在區間[t，t+2]上的最小值為f（t）=tlnt；
（II）由題意得，f（x）﹣g（x）=xlnx+x2﹣ax+2=0在（0，+∞）上有且只有一個根，
即 在（0，+∞）上有且只有一個根．令 ，
則 ，
易知g（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，所以hmin（x）=h（1）=3，
由題意可知，若使y=f（x）與y=g（x）的圖象恰有一個公共點，則a=hmin（x）=3．
【解析】（I）求導數，再分類討論，確定函數在區間上的單調性，即可求得函數的最小值；（II）將函數圖象只有一個公共點轉化為方程只有一根，再分離參數，求出函數的最小值即可