Question

【題目】已知函數．

判斷在定義域上的單調性；

若在上的最小值為2，求a的值．

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）先確定f（x）的定義域為（0，+∞），再求導，由“f'（x）＞0，f（x）為增函數f'（x）＜0，f（x）在為減函數”判斷，要注意定義域和分類討論．

（2）因為，x＞0．由（1）可知當a≥0時，f（x）在（0，+∞）上為增函數，f（x）min＝f（1）；當0＜﹣a≤1時，；f（x）在（0，+∞）上也是增函數，f（x）min＝f（1）；當1＜﹣a＜e時；f（x）在[1，﹣a]上是減函數，在（﹣a，e]上是增函數，f（x）min＝f（﹣a）；當﹣a≥e時，；f（x）在[1，e]上是減函數，f（x）min＝f（e）；最后取并集．

（1）由題意得f（x）的定義域為（0，+∞），．（0，+∞）

①當a≥0時，f'（x）＞0，故f（x）在上為增函數；

②當a＜0時，由f'（x）＝0得x＝﹣a；由f'（x）＞0得x＞﹣a；由f'（x）＜0得x＜﹣a；

∴f（x）在（0，﹣a]上為減函數；在（﹣a，+∞）上為增函數．

所以，當a≥0時，f（x）在（0，+∞）上是增函數；當a＜0時，f（x）在（0，﹣a]上是減函數，在（﹣a，+∞）上是增函數．

（2）∵，x＞0．由（1）可知：

①當a≥0時，f（x）在（0，+∞）上為增函數，f（x）min＝f（1）＝﹣a＝2，得a＝﹣2，矛盾!

②當0＜﹣a≤1時，即a≥﹣1時，f（x）在（0，+∞）上也是增函數，f（x）min＝f（1）＝﹣a＝2，∴a＝﹣2（舍去）．

③當1＜﹣a＜e時，即﹣e＜a＜﹣1時，f（x）在[1，﹣a]上是減函數，在（﹣a，e]上是增函數，

∴f（x）min＝f（﹣a）＝ln（﹣a）+1＝2，得a＝﹣e（舍去）．

④當﹣a≥e時，即a≤﹣e時，f（x）在[1，e]上是減函數，有，

∴a＝﹣e．

綜上可知：a＝﹣e．