Question

【題目】如圖，F1、F2是橢圓C1：＋y2＝1與雙曲線C2的公共焦點，A、B分別是C1、C2在第二、四象限的公共點．若四邊形AF1BF2為矩形，則C2的離心率是___．

Answer 1

【答案】

【解析】

不妨設|AF1|＝x，|AF2|＝y，依題意，解此方程組可求得x，y的值，利用雙曲線的定義及性質即可求得C2的離心率．

設|AF1|＝x，|AF2|＝y，∵點A為橢圓C1：y2＝1上的點，

∴2a＝4，b＝1，c；

∴|AF1|+|AF2|＝2a＝4，即x+y＝4；①

又四邊形AF1BF2為矩形，

∴，即x2+y2＝（2c）212，②

由①②得：，解得x＝2，y＝2，設雙曲線C2的實軸長為2m，焦距為2n，

則2m＝|AF2|﹣|AF1|＝y﹣x＝2，2n＝2c＝2，

∴雙曲線C2的離心率e．

故答案為．