Question

【題目】直三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形， 是棱的中點(diǎn)，且.

（1）若點(diǎn)為棱的中點(diǎn)，求異面直線與所成角的余弦值；

（2）若點(diǎn)在棱上，且平面，求線段的長(zhǎng).

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】試題分析：（1）取邊中點(diǎn)為，以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為軸， 為軸， 為軸建立空間直角坐標(biāo)系，由， ，利用向量求解即可；

（2）設(shè)，若平面，則由， ，用空間坐標(biāo)表示數(shù)量積求解方程即可.

試題解析：

取邊中點(diǎn)為∵底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，

∴ 連接，∵是邊的中點(diǎn)∴，

以為坐標(biāo)原點(diǎn)， 為軸， 為軸， 為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則， ， ， ，

， ， ，

（1）若為的中點(diǎn)，則， ，

設(shè)異面直線與所成的角為，則，

所以異面直線與所成的角得余弦值為.

（2）設(shè)，則， ，

若平面，則由，

∴可得

即當(dāng)時(shí)， 平面.