Question

.（本題滿分12分）
如圖，ABCD是菱形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，BAD=60°.
（1）證明：面PBD⊥面PAC；
（2）求銳二面角A—PC—B的余弦值.

Answer 1

1）因為四邊形ABCD是菱形，
所以AC
因為PA平面ABCD，
所有PABD.…………………………2分
又因為PAAC=A，
所以BD面 PAC.……………………3分
而BD面PBD，
所以面PBD面PAC.…………………5分
（2）如圖，設ACBD=O.取PC的中點Q，連接OQ.
在△APC中，AO=OC，CQ=QP，OQ為△APC的中位線，所以OQ//PA.
因為PA平面ABCD，
所以OQ平面ABCD，……………………………………………………6分
以OA、OB、OQ所在直線分別為軸、軸，建立空間直角坐標系O
則
………………………………………………………………………7分
因為BO面PAC，
所以平面PAC的一個法向量為…………………………………8分
設平面PBC的一個法向量為
而
由得
令則
所以為平面PBC的一個法向量.……………………………10分
＜＞……………………12分

略