Question

【題目】已知函數f（x）=x3+ax2+bx+c，x∈[﹣2，2]表示的曲線過原點，且在x=±1處的切線斜率均為﹣1，給出以下結論： ①f（x）的解析式為f（x）=x3﹣4x，x∈[﹣2，2]；
②f（x）的極值點有且僅有一個；
③f（x）的最大值與最小值之和等于0．
其中正確的結論有（ ）
A.0個
B.1個
C.2個
D.3個

Answer 1

【答案】C
【解析】解：函數f（x）=x3+ax2+bx+c的圖象過原點，可得c=0；

又f′（x）=3x2+2ax+b，且f（x）在x=±1處的切線斜率均為﹣1，

則有 ，解得a=0，b=﹣4．

所以f（x）=x3﹣4x，f′（x）=3x2﹣4．①可見f（x）=x3﹣4x，因此①正確；②令f′（x）=0，得x=± ．因此②不正確；

所以f（x）在[﹣ ， ]內遞減，

且f（x）的極大值為f（﹣ ）= ，極小值為f（ ）=﹣ ，兩端點處f（﹣2）=f（2）=0，

所以f（x）的最大值為M= ，最小值為m=﹣ ，則M+m=0，因此③正確．

所以正確的結論為①③，

故選C．

【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數的極值與導數的相關知識，掌握求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值，以及對函數的最大(小)值與導數的理解，了解求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．