Question

如圖，已知位于y軸左側的圓C與y軸相切于點（0,1）且被x軸分成的兩段圓弧長之比為1:2，過點H（0，t）的直線于圓C相交于M、N兩點，且以MN為直徑的圓恰好經過坐標原點O。
（1）  求圓C的方程；
（2）  當t=1時，求出直線的方程；
（3）  求直線OM的斜率k的取值范圍。

Answer 1

解 （1）因為位于軸左側的圓與軸相切于點，所以圓心在直線上，
設圓與軸的交點分別為、，
由圓被軸分成的兩段弧長之比為，得，
所以，圓心的坐標為，
所以圓的方程為：．           …………………4分

（2）當時，由題意知直線的斜率存在，設直線方程為，
由得或，
不妨令，
因為以為直徑的圓恰好經過，
所以，
解得，所以所求直線方程為或．…………10分
（3）設直線的方程為，
由題意知，，解之得，
同理得，，解之得或． 由（2）知，也滿足題意．
所以的取值范圍是． …………16分

略