Question

【題目】已知函數.

（1）若，函數的極大值為，求實數的值；

（2）若對任意的， 在上恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】(1) ；(2) .

【解析】試題分析：

（1）求導函數，根據的不同取值判斷出函數的單調性，求出極值后根據題意驗證后可得實數的值．（2）由題意構造關于的函數，

由于，故在上單調遞增，可得．所以將所求問題轉化為對恒成立．（ⅰ）當時，由于， ，不合題意．（ⅱ）當時，令，由題意再分和兩種情況討論可得符合題意，故可得所求范圍．

試題解析：

（1）∵，

∴

.

①當時， ，

令，得； ，得，

所以在上單調遞增， 上單調遞減．

所以的極大值為，不合題意．

②當時， ，

令，得； ，得或，

所以在上單調遞增， 和上單調遞減.

所以的極大值為，解得．符合題意．

綜上可得．

（2）令， ，

當時， ，

則對恒成立等價于，

即對恒成立.

（ⅰ）當時， ， ， ，

此時，不合題意.

（ⅱ）當時，令，

則，其中， ，

令，

則在區間上單調遞增，

①當時，則，

所以對， ，

從而在上單調遞增，

所以對任意， ，

即不等式在上恒成立．

②時，

由， 及在區間上單調遞增，可得

存在唯一的，使得，且時， .

從而時， ，所以在區間上單調遞減，

所以當時， ，

即，不符合題意．

綜上所述．

所以實數的取值范圍為．