Question

【題目】如圖，在多面體ABD﹣A1B1C1D1中四邊形A1B1C1D1，ADD1A1．ABB1A1均為正方形．點M是BD的中點．點H在線段C1M上，且A1H與平面ABD所成角的正弦值為．

（Ⅰ）證明：B1D1∥平面BC1D：

（Ⅱ）求二面角A﹣A1H﹣B的的正弦值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）證明見解析　（Ⅱ）．

【解析】

(Ⅰ)構造正方體證明BD∥B1D1即可.

(Ⅱ)建立空間直角坐標系,利用A1H與平面ABD所成角的正弦值為可求得的坐標,再利用空間向量求二面角的方法求解即可.

（Ⅰ）證明：如圖,構造正方體ABED﹣A1B1C1D1,

結合正方體ABED﹣A1B1C1D1,得BD∥B1D1,

∵BD平面BC1D,B1D1平面BC1D,

∴B1D1∥平面BC1D．

（Ⅱ）解：以D為原點,DA為x軸,DE為y軸,DD1為z軸,建立空間直角坐標系,

設AD＝2,則M（1,1,0）,C1（0,2,2）,A1（2,0,2）,A（2,0,0）,B（2,2,0）,

設H（a,b,c）,,（0≤λ≤1）,則（a,b﹣2,c﹣2）＝（λ,﹣λ,﹣2λ）,

∴H（λ,2﹣λ,2﹣2λ）,

平面ABD的法向量（0,0,1）,（λ﹣2,2﹣λ,﹣2λ）,

∵A1H與平面ABD所成角的正弦值為．

∴,

解得,（舍負）,∴H（,,1）,

（,,﹣1）,（0,0,﹣2）,（0,2,﹣2）,

設平面AA1H的法向量（x,y,z）,

則,取x＝1,得（1,1,0）,

設平面A1HB的法向量（x,y,z）,

則,取y＝1,得（,1,1）,

設二面角A﹣A1H﹣B的平面角為θ,

則cosθ,

∴二面角A﹣A1H﹣B的正弦值為：

sinθ．