Question

【題目】若函數f（x）=x2﹣bx+3．
（1）若函數f（x）為R上的偶函數，求b的值．
（2）若函數f（x）在（﹣∞，2]上單調遞減，求b的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：若函數f（x）為R上的偶函數，

則f（﹣x）=f（x）恒成立，

即x2+bx+3=x2﹣bx+3恒成立，

解得：b=0

（2）解：函數f（x）=x2﹣bx+3的圖象是開口朝上，且以直線x= 為對稱軸的拋物線，

若函數f（x）在（﹣∞，2]上單調遞減，

則 ≥2，

解得b≥4

【解析】（1）若函數f（x）為R上的偶函數，則f（﹣x）=f（x）恒成立，解得b的值．（2）若函數f（x）在（﹣∞，2]上單調遞減，則 ≥2，解得b的取值范圍．
【考點精析】掌握函數單調性的判斷方法和二次函數的性質是解答本題的根本，需要知道單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較；當時，拋物線開口向上，函數在上遞減，在上遞增；當時，拋物線開口向下，函數在上遞增，在上遞減．