Question

【題目】已知z為復數，ω=z+ 為實數，
（1）當﹣2＜ω＜10，求點Z的軌跡方程；
（2）當﹣4＜ω＜2時，若u= （α＞0）為純虛數，求：α的值和|u|的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：設z=x+yi，x，y∈R，

則ω=z+ =x+yi+ =x+yi+ = + i為實數，

∴y﹣ =0，∴y=0，或x2+y2=9．

①y=0時，ω=x+

∵﹣2＜ω＜10，∴﹣2＜ ＜10，

x＞0時，解得1＜x＜9．x＜0時，x∈．

綜上可得：y=0時，點Z的軌跡方程是 ．

②x2+y2=9時．

ω=2x，

∵﹣2＜ω＜10，∴﹣2＜2x＜10，

解得﹣1＜x＜5．

因此x2+y2=9時．可得：點Z的軌跡方程是x2+y2=9（﹣1＜x＜5）

（2）解：由（1）可得：①y=0時，ω=x+

∵﹣4＜ω＜2，∴﹣4＜ ＜2，

∵x＜0時， ≤﹣6；x＞0時， ≥6．

綜上可得：y=0時，x∈，點Z的軌跡無方程．

②x2+y2=9時．

ω=2x，

∵﹣4＜ω＜2，∴﹣4＜2x＜2，

解得﹣2＜x＜1．

∵u= （α＞0）為純虛數，

u= = ，

∴α2﹣9=0，2yα≠0，

解得α=3，y≠0．

∴u= = ，

∵x∈（﹣2，1），

∴|u|= = = ∈ ．

∴α=3，|u|∈ /p>

【解析】（1）設z=x+yi，x，y∈R，則ω= + i為實數，可得y﹣ =0，因此y=0，或x2+y2=9．通過分類討論即可得出．（2）由（1）可得：①y=0時，ω=x+ ，由﹣4＜ω＜2，可得﹣4＜ ＜2，利用基本不等式的性質即可得出．②x2+y2=9時．ω=2x，由于﹣4＜ω＜2，即可得出x的取值范圍．由u= （α＞0）為純虛數，化簡可得α，再利用模的計算公式、函數的單調性即可得出．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解復數的乘法與除法的相關知識，掌握設則；．