Question

（12分）是否存在自然數,使得f (n) = (2n+7)·3ⁿ+ 9對于任意都能被整除，若存在,求出(如果m不唯一，只求m的最大值);若不存在,請說明理由。

Answer 1

命題對于一切自然數n（n∈N）均成立。

解.猜想的值應為其最大公約數36.
①顯然正確.
②設n=k時命題正確，即f (k) = (2k+7)·3^k+ 9 能被36整除.
則時 ,
能被36整除，
即n=k+1時，命題正確。
綜合上述，命題對于一切自然數n（n∈N）均成立。