Question

【題目】如圖，某城市有一塊半徑為40 m的半圓形綠化區域（以O 為圓心，AB為直徑），現計劃對其進行改建．在AB的延長線上取點D，OD＝80 m，在半圓上選定一點C，改建后的綠化區域由扇形區域AOC和三角形區域COD組成，其面積為S m2．設∠AOC＝x rad．

（1）寫出S關于x的函數關系式S（x），并指出x的取值范圍；

（2）試問∠AOC多大時，改建后的綠化區域面積S取得最大值．

Answer 1

【答案】（1） S（x）＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．（2）

【解析】

試題分析：（1） 根據扇形面積公式得S扇形AOC＝＝800x ，根據三角形面積公式得S△COD＝·OC·OD·sin∠COD＝1600sin（π－x）＝1600sinx，從而S（x）＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sinx＋800x，定義域為

0＜x＜π（2）利用導數求函數最值：先求導數S′（x）＝1600cosx＋800＝1600（cosx＋），再求導函數零點x＝，最后列表分析導函數符號變化規律，確定函數單調性變化規律，進而得極大值，也是最大值

試題解析：（1）因為扇形 AOC的半徑為 40 m，∠AOC＝x rad，

所以 扇形AOC的面積S扇形AOC＝＝800x，0＜x＜π．

在△COD中，OD＝80，OC＝40，∠COD＝π－x，

所以△COD 的面積S△COD＝·OC·OD·sin∠COD＝1600sin（π－x）＝1600sinx．

從而 S＝S△COD＋S扇形AOC＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．

（2）由（1）知， S（x）＝1600sinx＋800x，0＜x＜π．

S′（x）＝1600cosx＋800＝1600（cosx＋）．

由 S′（x）＝0，解得x＝．

從而當0＜x＜時，S′（x）＞0；當＜x＜π時， S′（x）＜0 ．

因此 S（x）在區間（0，）上單調遞增；在區間（，π）上單調遞減．

所以 當x＝，S（x）取得最大值．

答：當∠AOC為時，改建后的綠化區域面積S最大．