Question

【題目】已知橢圓的焦點與雙曲線的焦點重合，過橢圓C的右頂點B任作一條直線，交拋物線于A,B兩點，且，

（1）試求橢圓C的方程；

（2）過橢圓的右焦點且垂直于軸的直線交橢圓于兩點，M,N是橢圓上位于直線兩側的兩點.若，求證：直線MN的斜率為定值.

Answer 1

【答案】（1）橢圓C的方程 （2）

【解析】

（1）根據橢圓與雙曲線焦點相同，可得，設右頂點為，直線的方程為，聯立其與拋物線的方程，根據，結合韋達定理可得的值，進而得橢圓的方程；（2）由得直線的斜率之和為0，直線的斜率為，則直線的斜率為，，將直線，直線的方程分別與橢圓方程聯立，求出，，結合斜率計算公式即可得結果.

（1）由雙曲線的焦點為，可知，右頂點為，

設直線的方程為，，整理可得，

∴ ，

∵,可知，即：，

∴，，可知橢圓的方程為

（2）易知點的坐標分別為

若，則直線的斜率之和為0.

設直線的斜率為，則直線的斜率為， ，

直線的方程為，由

可得，∴，

同理直線的方程為， 可得

∴，

.