Question

函數y=e^x（e為自然對數的底數）的圖象向下平移b（0＜b，b≠1）個單位后得到的圖象記為C_b，C_b與x軸交于A_b點，與y軸交于B_b點，O為坐標原點
（1）寫出C_b的解析式和A_b，B_b兩點的坐標
（2）判斷線段OA_b，OB_b長度大小，并證明你的結論
（3）是否存在兩個互不相等且都不等于1的正實數m，n，使得Rt△OA_mB_m與Rt△OA_nB_n相似，如果相似，能否全等？證明你的結論．

Answer 1

解：（1）由題得y=e^x-b，
令y=0，A_b（lnb，0）；
令x=0，B_b（0，1-b）．
（2）OA_b=|lnb|，OB_b=|1-b|．
①當0＜b＜1時，OA_b=-lnb，OB_b=1-b．
設函數f（x）-lnx-x-1 （0＜x＜1），
f'（x）=-1＞0，
∴f（x）在（0，1）上單調遞增，
∴f（x）＜f（1）=0，
∴-lnx＞-x+1
∴OA_b＞OB_b．
②當b＞1時，同理可得OA_b＞OB_b，
（3）①當三角形同在第二象限時，0＜m＜1，0＜n＜1時，OA_b＞OB_b，
若Rt△OA_mB_m與Rt△OA_nB_n相似，只有?，
設函數g（x）=（0＜x＜1），
g'（x）==（0＜x＜1），
設函數h（x）=x-lnx-1，h'（x）=-lnx＞0在（0，1）上恒成立，
∴h（x）在（0，1）上單調遞增，∴h（x）＜h（1）=0在（0，1）上恒成立，
∴g'（x）＜0在（0，1）上恒成立，g（x）在（0，1）上單調遞減，
所以當0＜m＜1，0＜n＜1時，不存在．當三角形同在第四象限時，m＞1，n＞1，同理可得m，n不存在．
③當三角形在不同象限時，不妨設0＜m＜1，n＞1時，若Rt△OA_mB_m與Rt△OA_nB_n相似，
則OA_m＞OB_m，OA_n＜OB_n，則有，
設M={f₁m|f₁m=（0＜m＜1）}，N={f₂（n）|f₂（n）=（n＞1）}，
有g（x）性質可得：取m∈（，），f₁（m）=在（，）上單調遞增，
∴f₁（m）∈[，]，2∈[]
取n∈[e，e²]，f₂（n）=在[e，e²]遞增，
∴]，2∈[e-1，]．
可得M∩N≠φ，因此存在0＜m＜1，n＞1，使得Rt△OA_mB_m與Rt△OA_nB_n相似．
如果全等，則有.??．
由lnm=1-n?m=e^1-n，代入lnn=1-m，
lnn=1-e^1-n?eⁿlnn=eⁿ-e．
設函數F（x）=e^xlnx-e^x+e （x＞1），
F'（x）=e^xlnx+=（xlnx-x+1）．
設函數H（x）=xlnx-x+1 （ x＞1），
H'（x）=lnx+1-1=lnx＞0，
所以H（x）在（1，+∞）上單調遞增，∴H（x）＞H（1）=0．
所以F'（x）＞0在（1，+∞）上恒成立，F（x）在（1，+∞）上單調遞增
∴F（x）＞F（1）=0．
因此不存在n＞1，使得eⁿlnn=eⁿ-e．
所以不存在兩個互不相等且都不等于1的正實數m，n，使得Rt△OA_mB_m與Rt△OA_nB_n全等．
分析：（1）直接利用圖象的平移規律即可求C_b的解析式，再令y=0以及x=0即可求出A_b，B_b兩點的坐標
（2）先求出線段OA_b，OB_b長的表達式，分b的取值并借助于函數的單調性來比較其長度大小即可．
（3）先對兩個三角形所在象限分情況討論，根據相似得到的結論求出正實數m，n的范圍，看是否符合要求即可．
點評：本題綜合考查指數函數的性質以及函數圖象的變換和三角形相似及全等對應的結論，是對知識的綜合考查，屬于難題．