Question

【題目】已知函數，其中是自然對數的底數，是函數的導數.

（1）若是上的單調函數，求的值；

（2）當時，求證：若，且，則.

Answer 1

【答案】（1），（2）證明見解析

【解析】

（1）對求導，可得，令則恒成立，由于，所以，即可求出結果.

（2）方法一：利用消元求導，由題意可得，

令，，不妨設，，

令，

原題即證明當時，，利用導數在不等式中應用，即可求出結果.

方法二：利用切線放縮法，化解過程同方法一，原題即證明當時，，，注意到，求出在處的切線方程為.下面證明恒成立（）；令，然后再利用導數在不等式中應用，和不等式放縮即可證明結果.

（1），，由題意恒成立，由于，所以，解得.

方法一：消元求導死算

（2），

令，，不妨設，，

令，

原題即證明當時，，

，其中

，因為，所以當時，，得證.

方法二：切線放縮

化解過程同上，原題即證明當時，，，注意到，求出在處的切線方程，則，即，則：切線方程為.下面證明恒成立（）；令，則，得在恒成立，故在（）上單調遞增，恒成立，故恒成立，同理可證始終位于在處的切線的上方，即：（實際上與關于軸對稱），故恒成立，原不等式得證.