Question

【題目】如圖,矩形中,,,為的中點,點,分別在線段,上運動（其中不與,重合,不與,重合）,且,沿將折起,得到三棱錐,則三棱錐體積的最大值為__________；當三棱錐體積最大時,其外接球的表面積的值為_______________.

Answer 1

【答案】

【解析】

（1）依題意設,則,利用椎體體積公式列式,再根據二次函數頂點式和正弦函數的取值范圍得出最大值.

（2）依題意建立如圖空間直角坐標系,列出各點的坐標,設球心坐標, 根據球心到各點距離等半徑求球心坐標,即可得出半徑,最后求出三棱錐的外接球面積.

解：依題意設,

則,

因為,所以,

與平面所成角為

當,時三棱錐體積取得最大值.

所以三棱錐體積的最大值為.

故答案為：

（2）由（1）知道三棱錐體積取得最大值時,

與平面所成角,即平面,

折起如圖所示：依題意可建立如圖所示空間直角坐標系：

所以,,,

設三棱錐外接球的球心為

解,所以

外接球面積為.

故答案為：