Question

設A，B，C為△ABC的三內角，其對邊分別為a，b，c，若

m

=(-cos

A

2

，sin

A

2

)，

n

=(cos

A

2

，sin

A

2

)且

m

•

n

=

1

2

（Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2

3

，三角形的面積為S=

3

，求△ABC的周長．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知條件利用兩個向量的數量積公式和二倍角公式可得-cosA=

1

2

，由0＜A＜π，求得A的值．
（Ⅱ）由三角形的面積求得 bc=4，再由由余弦定理解得b+c=4，從而求得△ABC的周長 b+c+a的值．

解答：解：（Ⅰ）由已知可得-cos2

A

2

+sin2

A

2

=

1

2

，…（2分）
即-cosA=

1

2

，…（5分）∵0＜A＜π，∴A=

2π

3

．…（7分）
（Ⅱ）由S=

1

2

bcsinA=

3

得，bc=4，…（9分）
又由余弦定理解得b²+c² =8，…（11分）
解出b+c=4，則△ABC的周長為 b+c+a=2

3

+4．…（14分）

點評：本題主要考查兩個向量的數量積公式，余弦定理，二倍角的余弦公式，根據三角函數的值求角，屬于中檔題．