Question

如圖5，在直角梯形ABCP中，AP//BC，APAB，AB=BC=，D是AP的中點，E，F，G分別為PC、PD、CB的中點，將沿CD折起，使得平面ABCD, 如圖6.

（Ⅰ）求證：AP//平面EFG；

 (Ⅱ) 求二面角的大小；

（Ⅲ）求三棱椎的體積.

 

Answer 1

；

解析:

(Ⅰ) 證明:方法一)連AC,BD交于O點,連GO,FO,EO.

∵E,F分別為PC,PD的中點,∴//,同理//, //    

四邊形EFOG是平行四邊形, 平面EFOG.

又在三角形PAC中,E,O分別為PC,AC的中點,PA//EO

平面EFOG,PA平面EFOG,

PA//平面EFOG,即PA//平面EFG.

方法二) 連AC,BD交于O點,連GO,FO,EO.

∵E,F分別為PC,PD的中點,∴//,同理//

又//AB,//

平面EFG//平面PAB,

又PA平面PAB,平面EFG. ……6分

方法三)如圖以D為原點,以

為方向向量建立空間直角坐標系.

則有關點及向量的坐標為:

設平面EFG的法向量為

     取.

∵,

又平面EFG. AP//平面EFG.

(Ⅱ)由已知底面ABCD是正方形

,又∵面ABCD  

又平面PCD,

向量是平面PCD的一個法向量, = 

又由(Ⅰ)方法三)知平面EFG的法向量為 

 

結合圖知二面角的平面角為 

(Ⅲ)