Question

已知拋物線方程C：y²=2px（p＞0），點F為其焦點，點N（3，1）在拋物線C的內部，設點M是拋物線C上的任意一點，|

MF

|+|

MN

|的最小值為4．
（1）求拋物線C的方程；
（2）過點F作直線l與拋物線C交于不同兩點A、B，與y軸交于點P，且

PF

=λ1

FA

=λ2

FB

，試判斷λ₁+λ₂是否為定值？若是定值，求出該定值并證明；若不是定值，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）準線方程為l：x=-

p

2

，點M到l的距離設為d，由拋物線定義，|

MF

|+|

MN

|=d+|

MN

|≥3+

p

2

=4，由此能求出拋物線C的方程．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F(xiàn)（1，0），設l：y=k（x-1），則P（0，-k），由

PF

=λ1

FA

=λ2

FB

知（1，k）=λ₁（x₁-1，y₁）=λ₂（x₂-1，y₂），由此能夠判斷λ₁+λ₂是為定值-1．

解答：解：（1）準線方程為l：x=-

p

2

，點M到l的距離設為d，由拋物線定義，|

MF

|+|

MN

|=d+|

MN

|≥3+

p

2

=4，p=2，所以y²=4x．
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），F(xiàn)（1，0）
由題意知直線l的斜率k存在且不等于0，
設l：y=k（x-1），則P（0，-k），
由

PF

=λ1

FA

=λ2

FB

知（1，k）=λ₁（x₁-1，y₁）=λ₂（x₂-1，y₂）∴k=λ₁y₁=λ₂y₂∵k≠0，∴λ1=

k

y1

，λ2=

k

y2

，λ1+λ2=k×

y1+y2

y1y2

，
將y=k（x-1）代入y²=4x得y2-

4

k

y-4=0，y1+y2=

4

k

，y1•y2=-4∴

y1+y2

y1y2

=-

4

k

×

1

4

=-

1

k

，∴λ1+λ2=k×(-

1

k

)=-1為定值．

點評：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與拋物線的相關知識，解題時要注意合理地進行等價轉化．