Question

【題目】設三棱錐的每個頂點都在球的球面上，是面積為的等邊三角形，，，且平面平面.

（1）確定的位置（需要說明理由），并證明：平面平面.

（2）與側面平行的平面與棱，，分別交于，，，求四面體的體積的最大值.

Answer 1

【答案】（1）在上，理由見解析，證明見解析，（2）

【解析】

（1）取的中點，連接，可證在線段上，且平面，從而得到平面平面.

（2）設，可證，利用導數可求體積的最大值.

（1）證明：取的中點，連接，取點為的三等分點且，

連接.

因為，所以.

又平面平面，平面平面，平面，

所以平面.

因為平面，故.

因為為等腰直角三角形，為的中點，故，

因為，，

故，故，同理，

因為是等邊三角形，故為的中心，故，

故為三棱錐的外接球的球心，

故與重合即在線段上且.

因為在上，所以平面，

又平面，所以平面平面.

（2）由題意得，解得，

因為為等腰直角三角形，為的中點，故，

而平面平面，平面平面，

平面，故平面，故為點到平面的距離.

在等腰直角三角形中，即到平面的距離.

設，到平面的距離為.

因為平面平面，平面平面，平面平面，

故，同理，因為方向相同，故，

同理，

所以，則的面積為.

又，所以到平面的距離為，

所以四面體的體積.

設，，

當時，；當時，.

所以在為增函數，在為減函數，

所以，

即四面體的體積的最大值為.