Question

如圖，設拋物線方程為x²=2py(p＞0),M為直線y=-2p上任意一點，過M引拋物線的切線，切點分別為A，B.
（Ⅰ）求證：A，M，B三點的橫坐標成等差數列；
（Ⅱ）已知當M點的坐標為（2，-2p）時，，求此時拋物線的方程；
（Ⅲ）是否存在點M，使得點C關于直線AB的對稱點D在拋物線上，其中，點C滿足（O為坐標原點）.若存在，求出所有適合題意的點M的坐標；若不存在，請說明理由.

Answer 1

（1）證明見解析（2）拋物線方程為或⑶僅存在一點M(0，-2p)適合題意

（Ⅰ）證明：由題意設
由得，則                  所以
因此直線MA的方程為　　　
直線MB的方程為…………………2分
所以① ②
由①、②得　 因此　，即
所以A、M、B三點的橫坐標成等差數列. …………………4分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，當x₀=2時， 將其代入①、②并整理得：
　　所以　x₁、x₂是方程的兩根，
因此   又   
所以                                    …………………6分
由弦長公式得
又，所以p=1或p=2，
因此所求拋物線方程為或…………………8分
（Ⅲ）解：設D(x₃,y₃)，由題意得C(x₁+ x₂, y₁+ y₂),
則CD的中點坐標為
設直線AB的方程為
由點Q在直線AB上，并注意到點也在直線AB上，
代入得
若D（x₃,y₃）在拋物線上，則
因此　x₃=0或x₃=2x₀.
即D(0，0)或   …………………10分
（1）當x₀=0時，則，此時，點M(0,-2p)適合題意. ………………11分
（2）當，對于D(0，0)，此時
又AB⊥CD，所以………………12分
即矛盾.
對于因為此時直線CD平行于y軸，
又
所以　　直線AB與直線CD不垂直，與題設矛盾，
所以時，不存在符合題意的M點.
綜上所述，僅存在一點M(0，-2p)適合題意. ………………………………14分