Question

已知橢圓的左、右焦點分別為F₁，F₂，若以F₂為圓心，b-c為半徑作圓F₂，過橢圓上一點P作此圓的切線，切點為T，且|PT|的最小值不小于．
（1）求橢圓的離心率e的取值范圍；
（2）設橢圓的短半軸長為1，圓F₂與x軸的右交點為Q，過點Q作斜率為k（k＞0）的直線l與橢圓相交于A，B兩點，若OA⊥OB，求直線l被圓F₂截得的弦長的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）可設且顯得的長，當且僅當|PF₂|取得最小值時|PT|取得最小值，進而求得|PF₂|的最小值，進而判斷出，求得e的范圍．
（2）依題意求得Q點坐標，設出直線方程，與橢圓方程聯立消去y，設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），進而表示出x₁+x₂和x₁x₂，代入直線方程求得y₁y₂的表達式和x₁•x₂+y₁•y₂，進而根據OA⊥OB，判斷出=0求得k和a的關系，表示出圓心到直線度的距離，根據（1）中e的范圍確定c的范圍，進而確定S的范圍，則其最大值可求．
解答：解：（1）依題意設切線長，
∴當且僅當|PF₂|取得最小值時|PT|取得最小值，而|PF₂|_min=a-c，
∴，∴，從而解得，
故離心率e的取值范圍是；
（2）依題意Q點的坐標為（1，0），則直線的方程為y=k（x-1），
聯立方程組，得（a²k²+1）x²-2a²k²x+a²k²-a²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有，，
代入直線方程得y₁y₂=k²[x₁x₂-（x₁+x₂）+1]=，，
又OA⊥OB，∴，∴，∴，∴k=a，直線的方程為ax-y-a=0，
圓心F₂（c，0）到直線l的距離，
由圖象可知，
∴，∴，
∴，
所以．
點評：本題主要考查了橢圓的簡單性質，直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了學生數形結合的思想，轉化和化歸思想的運用．