Question

已知向量

m

=(

3

sinx+cosx，1)，

n

=(cosx，-f(x))，且

m

⊥

n

，
（1）求f（x）的單調區間；
（2）當x∈[0， 

π

2

]時，函數g(x)=a[f(x)-

1

2

]+b的最大值為3，最小值為0，試求a、b的值．

Answer 1

分析：（1）根據兩個向量的數量積公式，兩個向量垂直的性質 以及三角函數的恒等變換求得f（x）=sin（2x+

π

6

）+1，令 2kπ-

π

2

≤（2x+

π

6

）≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，
可得函數的增區間，同理求得函數的減區間．
（2）由于g(x)=asin(2x+

π

6

)+b，當x∈[0，

π

2

]時，-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，分a＞0和a＜0兩種情況，分別根據函數的最值求出a、b的值，從而得出結論．

解答：解：（1）由題意可得

m

•

n

=

3

sinxcosx+cos²x-f（x）=0，∴f（x）=

3

2

sin2x+

1+cos2x

2

=sin（2x+

π

6

）+1，
令 2kπ-

π

2

≤（2x+

π

6

）≤2kπ+

π

2

，k∈z，解得 kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，k∈z，
故函數的增區間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]，k∈z．
同理求得函數的減區間為[kπ+

π

6

，kπ+

2π

3

]，k∈z．
（2）由于g(x)=asin(2x+

π

6

)+b，當x∈[0，

π

2

]時，-

1

2

≤sin(2x+

π

6

)≤1，
①若a＞0，則g_max（x）=a+b，gmin(x)=-

1

2

a+b．
由

a+b=3 - 1 2 a+b=0

得a=2，b=1…（10分）
②若a＜0，則gmax(x)=-

1

2

a+b，g_min（x）=a+b，
由

a+b=0 - 1 2 a+b=3

得a=-2，b=2．…（12分）
綜上得，a=2，b=1，或a=-2，b=2．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積公式的應用，兩個向量垂直的性質，三角函數的恒等變換及化簡求值，正弦函數的定義域、值域、單調性，屬于中檔題．