Question

已知數列a_n的前n項和為S_n，且a₁=1，S_n=n²a_n（n∈N），
（1）試計算S₁，S₂，S₃，S₄，并猜想S_n的表達式；
（2）證明你的猜想，并求出a_n的表達式．

Answer 1

分析：（1）先根據數列的前n項的和求得S₁，S₂，S₃，S₄，可知分母和分子分別是等差數列進而可猜想出S_n．
（2）利用a_n=S_n-S_n-1，整理出a_n的遞推式，進而用疊乘法求得a_n．

解答：解：（1）由a₁=1，S_n=n²a_n（n∈N）得S1=1，S2=

4

3

，S3=

3

2

，S4=

8

5

猜想Sn=

2n

n+1

(n∈N)
（2）證明：∵S_n=n²a_n①∴S_n-1=（n-1）²a_n-1②
①-②得S_n-S_n-1=n²a_n-（n-1）²a_n-1
∴a_n=n²a_n-（n-1）²a_n-1
化簡得

an

an-1

=

n-1

n+1

∴

a2

a1

=

1

3

，

a3

a2

=

2

4

，

a4

a3

=

3

5

，…，

an

an-1

=

n-1

n+1

把上面各式相乘得

an

a1

=

2

n(n+1)

∴an=

2

n(n+1)

點評：本題主要考查了數列的遞推式．數列的遞推式是高考中常考的題型，涉及數列的通項公式，求和問題，數列與不等式的綜合等問題．