Question

如圖，正方形ADEF與梯形ABCD所在的平面互相垂直，，，，點M在線段EC上（除端點外）

（1）當點M為EC中點時，求證：平面；

（2）若平面與平面ABF所成二面角為銳角，且該二面角的余弦值為時，求三棱錐的體積

 

Answer 1

【答案】

（1）證明過程詳見；（2）

【解析】

試題分析：本題主要考查線線平行、線線垂直、線面平行、二面角、三棱錐的體積等基礎知識，考查學生的空間想象能力和推理論證能力，考查用空間向量法解立體問題，考查學生的計算能力 第一問，取N為ED中點，利用中位線得，而，所以，所以ABMN為平行四邊形，所以，所以利用線面平行的判定可得∥平面；第二問，用向量法解題，關鍵是建立空間直角坐標系，求出平面BDM和平面ABF的法向量，利用夾角公式求出，從而求出的值，即點M為EC中點，所以利用等體積轉化法求三棱錐B DEM的體積

試題解析：（1）證明 取中點，連結 在△中，分別為的中點，

則∥，且 由已知∥，，

因此，∥，且 所以，四邊形為平行四邊形

于是，∥ 又因為平面，且平面，

所以∥平面 6分

（2）按如圖建立空間直角坐標系，點與坐標原點重合

設，則，又，設，則，即

設是平面的法向量，則

,

取，得，即得平面的一個法向量為 …… 10分

由題可知，是平面的一個法向量

因此，，

即點為中點 此時，，為三棱錐的高，

所以， ……… 12分

考點：1 線面平行的判定；2 向量法；3 三棱錐的體積