Question

【題目】已知拋物線，過拋物線的焦點且與軸垂直的直線與拋物線在第一象限交于點，的面積為，其中為坐標原點．

（1）求拋物線的標準方程；

（2）若，，為拋物線上的兩個不同的點，直線，的斜率分別為，，且，求點到直線的距離的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】

（1）由得，由三角形面積求得，得拋物線方程；

（2）設直線的方程為，代入拋物線方程得，則，

設，，由韋達定理得，，把此結果代入，可得的關系式，從而求得的取值范圍，由點到直線距離公式求得點到直線的距離，表示為的函數，再利用換元法和函數的性質得出其范圍．

（1）由題意知，，，

將代入，得，故，

所以的面積為，所以，

所以拋物線的標準方程為．

（2）由題意可設直線的方程為，

聯立方程，得，消去得，，則，

設，，易知，均不與原點重合，則．

，，

因為，所以，

即，即，

代入，得，解得或，

所以點到直線的距離，

令，其中或，則或，

所以，

即點到直線的距離的取值范圍為．