Question

已知f(x)=2sinxcosx+2

3

cos2x-1-

3

，x∈[0，

π

2

]
（1）求f（x）的最大值及此時x的值；
（2）求f（x）在定義域上的單調遞增區間．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式及兩角和的正弦公式化簡f（x） 為 2sin（2x+

π

3

 ）-1，據

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，得到
當 2x+

π

3

=

π

2

 時，（x）有最大值為 1．
 （2）由 

π

3

≤2x+

π

3

≤

π

2

，得到  0≤x≤

π

12

，可得單調遞增區間．

解答：解：（1）f（x）=sin2x+

3

cos2x-1=2sin（2x+

π

3

 ）-1，∵0≤x≤

π

2

，∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，
當  2x+

π

3

=

π

2

 時，即 x=

π

12

 時，f（x）有最大值為 1．
（2）由 

π

3

≤2x+

π

3

≤

π

2

，得  0≤x≤

π

12

，
∴f（x）在定義域上的單調遞增區間[0，

π

12

]．

點評：本題考查正弦函數的單調性及最值，二倍角公式及兩角和的正弦公式，利用單調性求出f（x）的最大值，是解題的難點．